calcular limites paso a paso

Calcula límites paso a paso con ejemplos y reglas básicas

En el presente sitio web, efectuamos cálculos de límites en funciones de una sola variable. En un inicio, realizamos una breve explicación y revisamos los fundamentos de límite, límites laterales e indeterminaciones. Luego, ofrecemos ciertas normas y técnicas prácticas para calcular límites y prevenir indeterminaciones.

Límite

El grado del numerador y del denominador es igual, lo que significa que el resultado del límite se obtiene al dividir el coeficiente principal del numerador entre el del denominador.

Es importante destacar que la tendencia de x a infinito, ya sea negativo o positivo, no influye en esta función, debido a la igualdad en los grados de los polinomios involucrados.

Límite

Al contar con el mismo grado en el numerador y en el denominador, el límite se puede calcular a partir del cociente entre los coeficientes principales, tomando en cuenta las raíces correspondientes.

Límite

En contraire, una función exponencial aumenta a un ritmo superior a un polinomio cuando x alcanza valores elevados, sin importar el grado del exponente, de manera que

Explorando el Concepto de Límite en Cálculo

El límite de una función es el valor hacia el cual f(x) se aproxima a medida que x se acerca a un número. Este concepto es fundamental en el cálculo, ya que nos permite definir las derivadas, las integrales y la idealidad al encontrar el límite de una función dada.

Formalmente, la expresión que se utiliza para representar el límite es:

Si f es una función de valor real y a es un número real, entonces la expresión anterior se lee como: el límite de f(x) cuando x tiende a a es igual a L.

Cociente de polinomios

Al evaluar el límite de un cociente de polinomios P(x)/Q(x), a menudo nos encontramos con una indeterminación de infinito sobre infinito (∞/∞). Definimos como δP y δQ el grado de los polinomios P y Q, respectivamente.

En estos casos, debemos aplicar el criterio de los polinomios. En concreto, todos ellos presentan la indeterminación de infinito sobre infinito, y en todos ellos el grado del numerador es mayor que el del denominador. Por consiguiente, el resultado de todos estos límites es infinito, pero es importante calcular el signo del infinito.

Los coeficientes del polinomio son positivos y el infinito es negativo. Puesto que el grado del numerador es impar y el del denominador es par, el resultado final es negativo (negativo entre positivo), lo que significa que el infinito es negativo.

Introducción

Por ejemplo, si una función se aproxima a (5/infty), su límite será (0). No obstante, si desconocemos de antemano el límite de una función que se acerca a (infty/infty) (ya que podría tratarse de un valor infinito o finito), diremos que (infty/infty) constituye una de dichas indeterminaciones.

límites resueltos

La función en cuestión es una relación matemática entre dos polinomios con grados diferentes. Debido a que el polinomio del numerador es de mayor grado que el del denominador, al calcular el límite de dicha función, el resultado es infinito.

Preguntas frecuentes

La expresión x tiende a infinito de ln(x) se traduce en que el límite de este logaritmo natural es igual a +∞. La demostración de este límite se realiza aplicando un método indirecto llamado reductio ad absurdum.

Supongamos que el límite de ln(x) cuando x tiende a infinito sea igual a un valor determinado M ∈ R. Entonces, podemos afirmar que ln(x) es siempre menor que M, lo que implica que x también será menor que eM. Sin embargo, al aumentar x de forma infinita, este valor M no podría pertenecer al conjunto de los números reales, por lo tanto, el límite debe ser igual a +∞.

Cómo evaluar los límites

La herramienta de evaluación de límites es una excelente opción para resolverlos, pero también existe un método manual que puede aplicarse. A continuación, se explicará detalladamente cómo utilizar este método para solucionar límites.

Lo primero que se debe hacer es establecer la expresión del límite y simplificarla tanto como sea posible. Una vez hecho esto, se identifican los valores de x que hacen que la expresión se anule, ya que estos puntos pueden ser los límites o aproximarse a ellos.

A continuación, se deben acercar estos valores de x a la expresión del límite desde ambos lados y evaluar el resultado. Si los resultados son iguales, ese valor de x es el límite. Si difieren, se debe seguir acercando los valores hasta encontrar una diferencia cada vez más pequeña.

En caso de que no se pueda aplicar este método, debido a que la expresión no se anula para ningún valor de x o se anula en un punto aislado, se deben utilizar técnicas de simplificación algebraica para poder resolver el límite.

Siguiendo estos pasos, se puede resolver cualquier límite de manera precisa y efectiva.

Cociente de infinitos inftyinfty

Un cociente de polinomios se denota como P(x)/Q(x) , donde p y ap son el grado y coeficiente principal de P(x), y q y bq son los del polinomio Q(x).

Cuando x tiende a infinito , el límite se calcula de la siguiente manera:

Límite de P(x)/Q(x) cuando x tiende a infinito = coeficiente del término de mayor grado de P(x)/coeficiente del término de mayor grado de Q(x)

Nota: Si el resultado del primer caso es infinito, se debe multiplicar por el signo cociente de los coeficientes principales de los polinomios para determinar si el límite será positivo o negativo.

Ejemplo: Si P(x) es de grado par y Q(x) de grado impar, el límite cuando x tiende a infinito será negativo.

En el caso del límite tendiendo a -infinito , se aplica el mismo criterio, pero es más complejo debido a los grados de los polinomios.

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